東京理科大学
2012年 理工(物理・応用生物科・経営工) 第3問
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![k>0として,座標平面上の曲線C:y=e^{kx}を考える.曲線C上の点Pを,PにおけるCの接線ℓ_1が原点Oを通るようにとる.また,点Pを通リℓ_1と直交する直線をℓ_2とし,図のように,曲線C,直線ℓ_2,x軸,y軸の4つで囲まれた図形をAとする.ただし,eは自然対数の底である.(プレビューでは図は省略します)(1)点Pの座標と,直線ℓ_2とx軸との交点の座標を求めよ.(2)図形Aをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ.(3)kがk>0を動くとき,(2)で求めたVの最小値と,それを与えるkの値を求めよ.](./thumb/269/268/2012_3.png)
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$k>0$として,座標平面上の曲線$C:y=e^{kx}$を考える.曲線$C$上の点$\mathrm{P}$を,$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るようにとる.また,点$\mathrm{P}$を通リ$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし,図のように,曲線$C$,直線$\ell_2$,$x$軸,$y$軸の$4$つで囲まれた図形を$A$とする.ただし,$e$は自然対数の底である.
\imgc{269_268_2012_1}
(1) 点$\mathrm{P}$の座標と,直線$\ell_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(2) 図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
(3) $k$が$k>0$を動くとき,$(2)$で求めた$V$の最小値と,それを与える$k$の値を求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の座標と,直線$\ell_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(2) 図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
(3) $k$が$k>0$を動くとき,$(2)$で求めた$V$の最小値と,それを与える$k$の値を求めよ.
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