成城大学
2012年 法学部 第2問
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次の文章内の$\fbox{ア}$~$\fbox{コ}$に適当な式または数値を入れよ.ただし,$\fbox{ク}$~$\fbox{コ}$はそれぞれ$3$つの自然数の組である.
(1) $xy$平面上で,点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える.この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$(ただし,$x>0$,$y>0$)で交わるとき,$y$は$t$と$x$で, \[ y=\fbox{ア} \hfill \tokeiichi \] のように表される.この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して,$x$に関する$2$次方程式$\fbox{イ}=0$を得る.
この方程式を解いて, \[ x=\fbox{ウ} \hfill \tokeini \] を得る.また,式$\tokeiichi$から, \[ y=\fbox{エ} \hfill \tokeisan \] となる.ただし,$t$の範囲は$0<t<\fbox{オ}$である.
(2) 円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$(ただし,$x>0$,$y>0$)の各座標がともに有理数であるとき,式$\tokeiichi$より$t$は有理数である.よって,$m,\ n$(ただし,$m>n$)を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば,式$\tokeini$,$\tokeisan$より点$(x,\ y)$は \[ x=\frac{\fbox{カ}}{m^2+n^2},\quad y=\frac{\fbox{キ}}{m^2+n^2} \] と表される.
(3) 等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$(ただし,$a<b$)で,$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$,かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ \fbox{ク},\ \fbox{ケ},\ \fbox{コ}$の$4$つである.
(1) $xy$平面上で,点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える.この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$(ただし,$x>0$,$y>0$)で交わるとき,$y$は$t$と$x$で, \[ y=\fbox{ア} \hfill \tokeiichi \] のように表される.この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して,$x$に関する$2$次方程式$\fbox{イ}=0$を得る.
この方程式を解いて, \[ x=\fbox{ウ} \hfill \tokeini \] を得る.また,式$\tokeiichi$から, \[ y=\fbox{エ} \hfill \tokeisan \] となる.ただし,$t$の範囲は$0<t<\fbox{オ}$である.
(2) 円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$(ただし,$x>0$,$y>0$)の各座標がともに有理数であるとき,式$\tokeiichi$より$t$は有理数である.よって,$m,\ n$(ただし,$m>n$)を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば,式$\tokeini$,$\tokeisan$より点$(x,\ y)$は \[ x=\frac{\fbox{カ}}{m^2+n^2},\quad y=\frac{\fbox{キ}}{m^2+n^2} \] と表される.
(3) 等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$(ただし,$a<b$)で,$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$,かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ \fbox{ク},\ \fbox{ケ},\ \fbox{コ}$の$4$つである.
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