埼玉大学
2013年 理学部 第3問
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![関数f(x)=xe^{-x}について,実数a,bは次の条件を満たすものとする.(A)∫_0^1f(x)dx=f(a)(0<a<1),(B)f(1)-f(0)=f´(b)(0<b<1)また,点(0,0),(a,e^a)を通る直線をℓ_1とし,点(1,0),(b,e^b)を通る直線をℓ_2とする.(1)(A),(B)を利用して,ℓ_1,ℓ_2の方程式をa,bを用いずに表せ.(2)ℓ_1とℓ_2の交点を求めよ.さらに,曲線y=e^x上の点(1,e)における接線と直線ℓ_2の交点を求めよ.(3)次の不等式が成り立つことを示せ.a<\frac{e-2}{e-1}<b<1/2ただし,必要ならばe=2.718・・・,log(e-1)=0.541・・・を用いてよい.](./thumb/118/1351/2013_3.png)
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関数$f(x)=xe^{-x}$について,実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする.
$(\mathrm{A})$ \ \ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ \ \ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$
また,点$(0,\ 0)$,$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし,点$(1,\ 0)$,$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする.
(1) $(\mathrm{A})$,$(\mathrm{B})$を利用して,$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ.
(2) $\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ.さらに,曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ.
(3) 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \] ただし,必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい.
$(\mathrm{A})$ \ \ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ \ \ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$
また,点$(0,\ 0)$,$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし,点$(1,\ 0)$,$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする.
(1) $(\mathrm{A})$,$(\mathrm{B})$を利用して,$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ.
(2) $\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ.さらに,曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ.
(3) 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \] ただし,必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい.
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