埼玉大学
2013年 教育・経済学部 第3問
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辺の長さが$\mathrm{AB}=1$,$\mathrm{BC}=k \ (0<k<1)$の長方形$\mathrm{ABCD}$を考える.辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とし,線分$\mathrm{AM}$で三角形$\mathrm{ADM}$を折り返したとき頂点$\mathrm{D}$が重なる点を$\mathrm{E}$とする.ただし,点$\mathrm{E}$は長方形の外にはみ出る場合もある.このとき下記の設問に答えよ.
(1) $\angle \mathrm{AMD}=\alpha$とするとき,$\sin \alpha$および$\cos \alpha$をそれぞれ$k$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{E}$を通り,辺$\mathrm{CD}$に垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする.このとき辺$\mathrm{CF}$の長さを$k$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{E}$を通り,辺$\mathrm{AM}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}$とする.三角形$\mathrm{BCE}$の面積が三角形$\mathrm{AEG}$の面積のちょうど2倍になるときの$k$の値を求めよ.
(1) $\angle \mathrm{AMD}=\alpha$とするとき,$\sin \alpha$および$\cos \alpha$をそれぞれ$k$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{E}$を通り,辺$\mathrm{CD}$に垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする.このとき辺$\mathrm{CF}$の長さを$k$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{E}$を通り,辺$\mathrm{AM}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}$とする.三角形$\mathrm{BCE}$の面積が三角形$\mathrm{AEG}$の面積のちょうど2倍になるときの$k$の値を求めよ.
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