帯広畜産大学
2014年 畜産学部 第1問
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$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha>\beta)$とし,
\[ \left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} & -\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} \\
1 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\alpha^n \\
\beta^n
\end{array} \right) \]
によって数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$を定義する.ただし,$n$は自然数である.次の各問に答えなさい.
(1) 次の各問に答えなさい.
(ⅰ) $\alpha,\ \beta$の値を求めなさい.
(ⅱ) $a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めなさい.
(ⅲ) $b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めなさい.
(2) ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$をそれぞれ$\overrightarrow{p}=(a_1,\ b_1)$,$\overrightarrow{q}=(a_2,\ b_2)$,$\overrightarrow{r}=(a_3,\ b_3)$と定義する.
(ⅰ) $\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$,$|\overrightarrow{q}|$,$|\overrightarrow{r}|$を求めなさい.
(ⅱ) $\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$について,$\cos \theta$,$\sin \theta$,$\tan \theta$を求めなさい.
(ⅲ) $\overrightarrow{q}$と$\overrightarrow{r}$のなす角$\theta$について,$\cos 2\theta$,$\sin 2\theta$,$\tan 2\theta$を求めなさい.
(3) 自然数$n$について,$a_{n+1} \geqq a_n$,$b_{n+1} \geqq b_n$がそれぞれ成り立つ.
(ⅰ) $\displaystyle \log_{10}a_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい.
(ⅱ) $\displaystyle \log_{10}b_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい.
(ⅲ) $\log_{10}(a_nb_n) \leqq 1$を満たす$n$をすべて求めなさい.
(1) 次の各問に答えなさい.
(ⅰ) $\alpha,\ \beta$の値を求めなさい.
(ⅱ) $a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めなさい.
(ⅲ) $b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めなさい.
(2) ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$をそれぞれ$\overrightarrow{p}=(a_1,\ b_1)$,$\overrightarrow{q}=(a_2,\ b_2)$,$\overrightarrow{r}=(a_3,\ b_3)$と定義する.
(ⅰ) $\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$,$|\overrightarrow{q}|$,$|\overrightarrow{r}|$を求めなさい.
(ⅱ) $\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$について,$\cos \theta$,$\sin \theta$,$\tan \theta$を求めなさい.
(ⅲ) $\overrightarrow{q}$と$\overrightarrow{r}$のなす角$\theta$について,$\cos 2\theta$,$\sin 2\theta$,$\tan 2\theta$を求めなさい.
(3) 自然数$n$について,$a_{n+1} \geqq a_n$,$b_{n+1} \geqq b_n$がそれぞれ成り立つ.
(ⅰ) $\displaystyle \log_{10}a_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい.
(ⅱ) $\displaystyle \log_{10}b_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい.
(ⅲ) $\log_{10}(a_nb_n) \leqq 1$を満たす$n$をすべて求めなさい.
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