三重大学
2011年 医学部 第4問
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関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2x}+\tan x,\ g(x)=x\cos (x^2)$について以下の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ.
(2) 閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け.必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい.
(3) $\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ.また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする.このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して,定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ.
(1) $\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ.
(2) 閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け.必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい.
(3) $\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ.また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする.このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して,定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ.
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