九州工業大学
2010年 情報工学部 第4問
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右図のように平面上に正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある.時刻$n$ \\
$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$において動点$\mathrm{P}$は正六角形の$6$つの頂点 \\
のいずれかにあり,時刻$1$では頂点$\mathrm{A}$にあるものとする. \\
時刻$n+1$には,時刻$n$のときにあった頂点の隣り合う$2$つの \\
頂点のいずれかに移動する.どちらの頂点に移動するかは \\
同様に確からしいものとする.時刻$n$において,動点$\mathrm{P}$が頂点 \\
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$にある確率をそれぞれ \\
$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n,\ e_n,\ f_n$とする.以下の問いに答えよ.
\img{678_3150_2010_1}{60}
(1) $a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2,\ e_2,\ f_2$を求めよ.
(2) $a_3,\ b_3,\ c_3,\ d_3,\ e_3,\ f_3$を求めよ.
(3) $n$が偶数のとき,$b_n+d_n+f_n$を求めよ.
(4) すべての時刻$n$に対して,$b_n=f_n$および$c_n=e_n$が同時に成立することを数学的帰納法を用いて示せ.
(5) $m$を$1$以上の整数とするとき,$d_{2m}$を$m$を用いて表せ.また,$\displaystyle \lim_{m \to \infty}d_{2m}$を求めよ.
(1) $a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2,\ e_2,\ f_2$を求めよ.
(2) $a_3,\ b_3,\ c_3,\ d_3,\ e_3,\ f_3$を求めよ.
(3) $n$が偶数のとき,$b_n+d_n+f_n$を求めよ.
(4) すべての時刻$n$に対して,$b_n=f_n$および$c_n=e_n$が同時に成立することを数学的帰納法を用いて示せ.
(5) $m$を$1$以上の整数とするとき,$d_{2m}$を$m$を用いて表せ.また,$\displaystyle \lim_{m \to \infty}d_{2m}$を求めよ.
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