京都工芸繊維大学
2012年 工芸科学 第2問
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$xyz$空間内に四面体$\mathrm{PABC}$がある.$\triangle \mathrm{ABC}$は$xy$平面内にある鋭角三角形とし,頂点$\mathrm{P}$の$z$座標は正とする.$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とし,$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるとする.$\mathrm{H}$から直線$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{HK}_1$,$\mathrm{HK}_2$,$\mathrm{HK}_3$とする.そのとき$\mathrm{PK}_1 \perp \mathrm{AB}$,$\mathrm{PK}_2 \perp \mathrm{BC}$,$\mathrm{PK}_3 \perp \mathrm{CA}$である.$\angle \mathrm{PK}_1 \mathrm{H}=\alpha_1$,$\angle \mathrm{PK}_2 \mathrm{H}=\alpha_2$,$\angle \mathrm{PK}_3 \mathrm{H}=\alpha_3$とし,$\triangle \mathrm{PAB}$,$\triangle \mathrm{PBC}$,$\triangle \mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とする.
(1) $\triangle \mathrm{HAB}$の面積を$\alpha_1,\ S_1$を用いて表せ.
(2) 3つのベクトル$\overrightarrow{l_1}$,$\overrightarrow{l_2}$,$\overrightarrow{l_3}$は,大きさがそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$であり,向きがそれぞれ平面$\mathrm{PAB}$,平面$\mathrm{PBC}$,平面$\mathrm{PCA}$に垂直であるとする.ただし,$\overrightarrow{l_1}$,$\overrightarrow{l_2}$,$\overrightarrow{l_3}$の$z$成分はすべて正とする.このとき,$\overrightarrow{l_1}+\overrightarrow{l_2}+\overrightarrow{l_3}$の$z$成分は$\triangle \mathrm{ABC}$の面積に等しいことを示せ.
(3) 3辺$\mathrm{AB},\ \mathrm{BC},\ \mathrm{CA}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}$を,$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表せ.
(1) $\triangle \mathrm{HAB}$の面積を$\alpha_1,\ S_1$を用いて表せ.
(2) 3つのベクトル$\overrightarrow{l_1}$,$\overrightarrow{l_2}$,$\overrightarrow{l_3}$は,大きさがそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$であり,向きがそれぞれ平面$\mathrm{PAB}$,平面$\mathrm{PBC}$,平面$\mathrm{PCA}$に垂直であるとする.ただし,$\overrightarrow{l_1}$,$\overrightarrow{l_2}$,$\overrightarrow{l_3}$の$z$成分はすべて正とする.このとき,$\overrightarrow{l_1}+\overrightarrow{l_2}+\overrightarrow{l_3}$の$z$成分は$\triangle \mathrm{ABC}$の面積に等しいことを示せ.
(3) 3辺$\mathrm{AB},\ \mathrm{BC},\ \mathrm{CA}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}$を,$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表せ.
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