熊本大学
2016年 理系 第3問
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![0<θ<π/2を満たすθに対して,α=2(cosθ+isinθ)とする.ただし,iは虚数単位である.n=1,2,3,・・・に対してz_n=α^n-2α^{n-1}とおく.以下の問いに答えよ.(1)θ=π/3とするとき,z_nを極形式で表せ.(2)θ=π/3とするとき,Σ_{k=1}^n|z_k|>500となる最小のnを求めよ.(3)z_{1000}が実数となるようなθの値の個数を求めよ.](./thumb/721/2975/2016_3.png)
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$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して,$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする.ただし,$i$は虚数単位である.$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく.以下の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき,$z_n$を極形式で表せ.
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ.
(3) $z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ.
(1) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき,$z_n$を極形式で表せ.
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ.
(3) $z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ.
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![](./thumb/711/2923/2016_3s.png)
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