北九州市立大学
2013年 国際環境工 第3問
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図のような中心$\mathrm{O}$,半径$r$の球形の一部を切り取った容器に,容器上端まで水を満たす.この容器を,点$\mathrm{O}$を中心としてゆっくりと角度$\theta$傾けたときに,容器の中に残っている水の体積を$V$とする.以下の問いに答えよ.答えを導く過程も記すこと.
(1) この容器の容積を求めよ.
(2) 角度$\theta_e$傾けたときにすべての水がこぼれ,容器がちょうど空になったとする.$\theta_e$の値を求めよ.
(3) $0 \leqq \theta \leqq \theta_e$のとき,$V$を$\theta$の関数$f(\theta)$として表せ.
(4) $0 \leqq \theta \leqq \theta_e$のとき,$f(\theta)$の第$1$次導関数および第$2$次導関数を求めよ.
(5) $0 \leqq \theta \leqq \theta_e$のとき,関数$V=f(\theta)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,それらがわかるようにグラフをかけ.
(1) この容器の容積を求めよ.
(2) 角度$\theta_e$傾けたときにすべての水がこぼれ,容器がちょうど空になったとする.$\theta_e$の値を求めよ.
(3) $0 \leqq \theta \leqq \theta_e$のとき,$V$を$\theta$の関数$f(\theta)$として表せ.
(4) $0 \leqq \theta \leqq \theta_e$のとき,$f(\theta)$の第$1$次導関数および第$2$次導関数を求めよ.
(5) $0 \leqq \theta \leqq \theta_e$のとき,関数$V=f(\theta)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,それらがわかるようにグラフをかけ.
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