金沢工業大学
2012年 理系2 第5問
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![座標平面上において直線y=2xをℓとし,この直線ℓに関して対称な2点P(x,y),Q(u,v)をとる.(1)直線PQは直線ℓに垂直であるからv-y=\frac{[アイ]}{[ウ]}(u-x)\qquad・・・・・・①が成り立つ.(2)点Pと点Qの中点は直線ℓ上にあるからv+y=[エ](u+x)\qquad・・・・・・②が成り立つ.(3)等式①と②より,x,yとu,vの間に関係(\begin{array}{c}u\v\end{array})=\frac{1}{[オ]}(\begin{array}{cc}[カキ]&[ク]\[ケ]&[コ]\end{array})(\begin{array}{c}x\y\end{array})\qquad・・・・・・③が成り立つ.(4)1次変換③を表す行列をAとすると,A^2=(\begin{array}{cc}[サ]&[シ]\[ス]&[セ]\end{array}),A^{-1}=\frac{1}{[ソ]}(\begin{array}{cc}[タチ]&[ツ]\[テ]&[ト]\end{array})である.](./thumb/361/2221/2012_5.png)
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座標平面上において直線$y=2x$を$\ell$とし,この直線$\ell$に関して対称な$2$点$\mathrm{P}(x,\ y)$,$\mathrm{Q}(u,\ v)$をとる.
(1) 直線$\mathrm{PQ}$は直線$\ell$に垂直であるから \[ v-y=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}} (u-x) \qquad \cdots\cdots\maruichi \] が成り立つ.
(2) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の中点は直線$\ell$上にあるから \[ v+y=\fbox{エ}(u+x) \qquad \cdots\cdots\maruni \] が成り立つ.
(3) 等式$\maruichi$と$\maruni$より,$x,\ y$と$u,\ v$の間に関係 \[ \left( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right)=\frac{1}{\fbox{オ}} \left( \begin{array}{cc} \fbox{カキ} & \fbox{ク} \\ \fbox{ケ} & \fbox{コ} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \qquad \cdots\cdots\marusan \] が成り立つ.
(4) $1$次変換$\marusan$を表す行列を$A$とすると, \[ A^2=\left( \begin{array}{cc} \fbox{サ} & \fbox{シ} \\ \fbox{ス} & \fbox{セ} \end{array} \right),\quad A^{-1}=\frac{1}{\fbox{ソ}} \left( \begin{array}{cc} \fbox{タチ} & \fbox{ツ} \\ \fbox{テ} & \fbox{ト} \end{array} \right) \] である.
(1) 直線$\mathrm{PQ}$は直線$\ell$に垂直であるから \[ v-y=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}} (u-x) \qquad \cdots\cdots\maruichi \] が成り立つ.
(2) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の中点は直線$\ell$上にあるから \[ v+y=\fbox{エ}(u+x) \qquad \cdots\cdots\maruni \] が成り立つ.
(3) 等式$\maruichi$と$\maruni$より,$x,\ y$と$u,\ v$の間に関係 \[ \left( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right)=\frac{1}{\fbox{オ}} \left( \begin{array}{cc} \fbox{カキ} & \fbox{ク} \\ \fbox{ケ} & \fbox{コ} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \qquad \cdots\cdots\marusan \] が成り立つ.
(4) $1$次変換$\marusan$を表す行列を$A$とすると, \[ A^2=\left( \begin{array}{cc} \fbox{サ} & \fbox{シ} \\ \fbox{ス} & \fbox{セ} \end{array} \right),\quad A^{-1}=\frac{1}{\fbox{ソ}} \left( \begin{array}{cc} \fbox{タチ} & \fbox{ツ} \\ \fbox{テ} & \fbox{ト} \end{array} \right) \] である.
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