上智大学
2012年 理工学部 第1問
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![次の各問いに答えなさい.(1)関数f(x)=2√3sin^2x/2-sinx+a(0≦x≦π)の最小値が√3であるとする.このとき,a=[ア]であり,f(x)が最小となるのはx=\frac{π}{[イ]}のときである.(2)nを5以上の自然数とする.1以上n以下の自然数から互いに隣り合わない2つを選ぶ組合せは\frac{1}{[ウ]}(n-[エ])(n-[オ])通りあり,どの2つも隣り合わない3つを選ぶ組合せは\frac{1}{[カ]}(n-[キ])(n-[ク])(n-[ケ])通りある.ただし,[エ]<[オ],[キ]<[ク]<[ケ]とする.(3)三角形OABにおいて,辺OAを1:3に内分する点をC,辺OBを4:3に内分する点をDとし,線分ADとBCの交点をPとする.AP:PD=s:(1-s),BP:PC=t:(1-t)とするときs=\frac{[コ]}{[サ]},t=\frac{[シ]}{[ス]}である.また,OPの延長と辺ABとの交点をQとするときベクトルOQ=\frac{[セ]}{[ソ]}ベクトルOPである.](./thumb/220/158/2012_1.png)
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次の各問いに答えなさい.
(1) 関数 \[ f(x) = 2\sqrt{3}\,\sin^2\frac{x}{2}-\sin x+a \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \] の最小値が$\sqrt{3}$であるとする.このとき,$a=\fbox{ア}$であり,$f(x)$が最小となるのは$x=\displaystyle\frac{\pi}{\fbox{イ}}$のときである.
(2) $n$を$5$以上の自然数とする.$1$以上$n$以下の自然数から互いに隣り合わない$2$つを選ぶ組合せは \[ \frac{1}{\fbox{ウ}} \left( n- \fbox{エ}\right) \left( n- \fbox{オ} \right) \] 通りあり,どの$2$つも隣り合わない$3$つを選ぶ組合せは \[ \frac{1}{\fbox{カ}} \left( n- \fbox{キ}\right) \left( n- \fbox{ク} \right) \left( n- \fbox{ケ} \right) \] 通りある.ただし,$\fbox{エ} < \fbox{オ}, \quad \fbox{キ} < \fbox{ク} < \fbox{ケ}$とする.
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$,辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし,線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする.$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$,$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とするとき \[ \displaystyle s=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}, \quad t=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}} \] である.また,$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき \[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \overrightarrow{\mathrm{OP}} \] である.
(1) 関数 \[ f(x) = 2\sqrt{3}\,\sin^2\frac{x}{2}-\sin x+a \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \] の最小値が$\sqrt{3}$であるとする.このとき,$a=\fbox{ア}$であり,$f(x)$が最小となるのは$x=\displaystyle\frac{\pi}{\fbox{イ}}$のときである.
(2) $n$を$5$以上の自然数とする.$1$以上$n$以下の自然数から互いに隣り合わない$2$つを選ぶ組合せは \[ \frac{1}{\fbox{ウ}} \left( n- \fbox{エ}\right) \left( n- \fbox{オ} \right) \] 通りあり,どの$2$つも隣り合わない$3$つを選ぶ組合せは \[ \frac{1}{\fbox{カ}} \left( n- \fbox{キ}\right) \left( n- \fbox{ク} \right) \left( n- \fbox{ケ} \right) \] 通りある.ただし,$\fbox{エ} < \fbox{オ}, \quad \fbox{キ} < \fbox{ク} < \fbox{ケ}$とする.
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$,辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし,線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする.$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$,$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とするとき \[ \displaystyle s=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}, \quad t=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}} \] である.また,$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき \[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \overrightarrow{\mathrm{OP}} \] である.
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