東京医科歯科大学
2016年 医学部 第2問
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$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし,正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする.また,$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし,$R$の体積を$V(r)$とする.さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし,
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする.ただし,$\phi$は空集合を表す.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき,$R$の$xy$平面による断面を図示せよ.
(2) $r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$,$V_(r_3)$を求めよ.
(3) $r \geqq r_1$のとき,$S_x$の体積を$r$を用いて表せ.
(4) $0<r \leqq r_2$において,$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ.
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし,
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする.ただし,$\phi$は空集合を表す.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき,$R$の$xy$平面による断面を図示せよ.
(2) $r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$,$V_(r_3)$を求めよ.
(3) $r \geqq r_1$のとき,$S_x$の体積を$r$を用いて表せ.
(4) $0<r \leqq r_2$において,$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ.
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