東京工業大学
2014年 理系 第5問
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$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+x^2+1$を考え，$C$上の点$(1,\ 3)$を$\mathrm{P}_0$とする．$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{k-1}(x_{k-1},\ y_{k-1})$における$C$の接線と$C$の交点のうちで$\mathrm{P}_{k-1}$と異なる点を$\mathrm{P}_k(x_k,\ y_k)$とする．このとき，$\mathrm{P}_{k-1}$と$\mathrm{P}_k$を結ぶ線分と$C$によって囲まれた部分の面積を$S_k$とする．
(1) $S_1$を求めよ．
(2) $x_k$を$k$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{S_k}$を求めよ．
(1) $S_1$を求めよ．
(2) $x_k$を$k$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{S_k}$を求めよ．
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