同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{c}$とおく．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面上に点$\mathrm{D}$をとる．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b} +z \overrightarrow{c}$と表すとき，実数$x,\ y,\ z$が満たすべき条件を求めなさい．
(2) $4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は四角形$\mathrm{ABCD}$をなし，次の条件
$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a},$
$\displaystyle |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|= |\overrightarrow{c}|= 1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OD}}| = \sqrt{\frac{17}{2}}$
を満たすとする．その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形をなすとする．ただし，四角形$\mathrm{PQRS}$は四角形$\mathrm{ABCD}$に含まれるものとする．このとき，$x,\ y,\ z$の値を求めなさい．