原点をOとする座標平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{17},\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{10}$を満たし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta =- \frac{13}{\sqrt{170}}$を満たしている．ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2},\ \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}$で定める．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1) 長さ$|\overrightarrow{u}|,\ |\overrightarrow{v}|$と内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい．
(2) 実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく．長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を最小にする$t$の値を求めなさい．また，そのときの長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めなさい．