首都大学東京
2011年 理系 第2問
2
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$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次の漸化式で与えられているとする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=4,\ b_1=3 \\
a_{n+1}=4a_n-3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=3a_n+4b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を求めなさい．
(2) $a_{n+4}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\ \ b_{n+4}-b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$はともに$5$の倍数であることを証明しなさい．
(3) $a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$5$の倍数ではないことを証明しなさい．
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を求めなさい．
(2) $a_{n+4}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\ \ b_{n+4}-b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$はともに$5$の倍数であることを証明しなさい．
(3) $a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$5$の倍数ではないことを証明しなさい．
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コメント（3件）
2015-07-20 21:37:01
ありがとうございました‼︎ |
2015-07-20 18:33:04
作りました。(2)は素直に数学的帰納法でやるのが無難そうです。(2)はa_1,a_5,a_9,a_{13} ・・・はすべて5で割った余りが等しいことを言っています。同様に、a_2,a_6,a_{10},a_{14}・・・も5で割った余りが等しいわけです。ですから(3)で（例えばですが）a_{2015}が5の倍数であるとします。すると、a_{2011}とかa_{2007}、・・・、a_3も5の倍数になるわけです。しかし、a_1～a_4はすべて5の倍数ではありません。これは矛盾です。このように(3)は背理法でも示せます。 |
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2015-07-18 10:09:55
解答お願いします…‼︎ |
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