首都大学東京
2011年 都市教養（文系） 第4問
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数列$\{a_n\}$が次の式によって与えられているとする．
\[ a_n = \left( 1-\frac{1}{4} \right) \left( 1-\frac{1}{9} \right) \left( 1-\frac{1}{16} \right) \cdots \left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して，それぞれ$2(n+1)a_n$の値を求めなさい．
(2) $a_n$の一般項を推定し，推定した式がすべての自然数$n$に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3) $\displaystyle a_n > \frac{1}{2}+\frac{100}{n^2}$をみたす最小の$n$を求めなさい．
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して，それぞれ$2(n+1)a_n$の値を求めなさい．
(2) $a_n$の一般項を推定し，推定した式がすべての自然数$n$に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3) $\displaystyle a_n > \frac{1}{2}+\frac{100}{n^2}$をみたす最小の$n$を求めなさい．
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