首都大学東京
2014年 都市教養（理系） 第2問
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空間内の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$について，どの$3$点も同一直線上にはないとする．また，正の実数$a,\ b$は$\sqrt{2}a<b<2a$を満たすとし，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=a$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=b$とする．以下の問いに答えなさい．
(1) 三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい．
(2) 線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，端点を除く）にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$があり，三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい．
(1) 三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい．
(2) 線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，端点を除く）にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$があり，三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい．
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