首都大学東京
2014年 理系 第2問
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$2$次正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$についての条件
\[ (\ast) \ \ a=d \ \ \text{かつ} \ \ b=-c \]
を考える．$(\ast)$を満たす$M$に対して，実数$f(M)$を$f(M)=\sqrt{a^2+b^2}$と定める．以下の問いに答えなさい．
(1) $2$次正方行列$A,\ B$がともに$(\ast)$を満たすならば，積$AB$も$(\ast)$を満たすことを証明しなさい．
(2) $2$次正方行列$A,\ B$がともに$(\ast)$を満たすならば，$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい．
(3) $A=16 \left( \begin{array}{cc} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい．ただし，本問においては$\log_{10}2=0.301$とする．
(1) $2$次正方行列$A,\ B$がともに$(\ast)$を満たすならば，積$AB$も$(\ast)$を満たすことを証明しなさい．
(2) $2$次正方行列$A,\ B$がともに$(\ast)$を満たすならば，$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい．
(3) $A=16 \left( \begin{array}{cc} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい．ただし，本問においては$\log_{10}2=0.301$とする．
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