首都大学東京
2013年 都市教養（理系） 第2問
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実数$a$に対し
\[ I=\int_0^1 |xe^x-a| \, dx \]
とする．以下の問いに答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1) $0<a<e$のとき，$te^t=a$を満たす実数$t \ \ (0<t<1)$がただ$1$つ存在することを示しなさい．
(2) $0<a<e$のとき，$I$の値を$(1)$の$t$を用いて表しなさい．
(3) $a$がすべての実数を動くとき，$I$の値を最小にする$a$とそのときの$I$の値を求めなさい．
(1) $0<a<e$のとき，$te^t=a$を満たす実数$t \ \ (0<t<1)$がただ$1$つ存在することを示しなさい．
(2) $0<a<e$のとき，$I$の値を$(1)$の$t$を用いて表しなさい．
(3) $a$がすべての実数を動くとき，$I$の値を最小にする$a$とそのときの$I$の値を求めなさい．
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