$1$から$10$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$10$枚のカードがあり，左から小さい番号の順に横$1$列に並べてある．この中から，無作為に$2$枚のカードを選び，その場所を入れかえる操作を考える．$n$を正の整数として，この操作を$n$回行ったとき，左端にあるカードに書かれている番号が$1$である確率を$p_n$とする．以下の問いに答えなさい．
(1) $p_1$を求めなさい．
(2) $n$回目の操作のあと，$1$が書かれたカードが左端になく，$(n+1)$回目の操作のあとに$1$が書かれたカードが左端にある確率を$q_n$とするとき，$q_n$を$p_n$を用いて表しなさい．
(3) $p_{n+1}$と$p_n$の間に成り立つ関係式を求めなさい．
(4) $p_n$を$n$を用いて表しなさい．