大阪府立大学
2011年 理系 第4問
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次の問いに答えよ.
(1) 自然数$n$に対して,$\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$とする.このとき数学的帰納法により, \[ s_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} \] であることを示せ.
(2) $a_1=0,\ a_2=1$とし,自然数$n$に対して,$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n+1$を満たす数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ.
[(i)] $b_n=a_{n+1}-a_n$とするとき,数列$\{b_n\}$が満たす漸化式を求めよ. [(ii)] $b_n$を(1)で与えた$s_n$を用いて表せ. [(iii)] 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ.
(1) 自然数$n$に対して,$\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$とする.このとき数学的帰納法により, \[ s_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} \] であることを示せ.
(2) $a_1=0,\ a_2=1$とし,自然数$n$に対して,$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n+1$を満たす数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ.
[(i)] $b_n=a_{n+1}-a_n$とするとき,数列$\{b_n\}$が満たす漸化式を求めよ. [(ii)] $b_n$を(1)で与えた$s_n$を用いて表せ. [(iii)] 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ.
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