大阪府立大学
2015年 工学域(中期) 第5問
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座標平面上において,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_0$に,半径$1$の円$C_1$が外接しながらすべることなく回転する.点$\mathrm{A}$を動く円$C_1$の中心とし,点$\mathrm{P}$を円$C_1$の円周上の定点とする.最初,点$\mathrm{A}$は座標$(2,\ 0)$の位置にあり,点$\mathrm{P}$は座標$(1,\ 0)$の位置にある.円$C_1$が円$C_0$の周りを反時計まわりに一周し,点$\mathrm{A}$が座標$(2,\ 0)$に戻ってくるとき,点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とする.動径$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の部分から角$\theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$だけ回転した位置にあるとき,点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について, \[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \] が成り立つことを示せ.
(2) 導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め,$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ.ただし,凹凸については言及しなくてよい.
(3) 曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について, \[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \] が成り立つことを示せ.
(2) 導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め,$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ.ただし,凹凸については言及しなくてよい.
(3) 曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ.
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