兵庫県立大学
2012年 工学部 第5問
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![xy平面上の4点O(0,0),A(a,0),B(0,b),および,C(a,b)\(0<a<b)を頂点とする長方形OACBと,辺OA上の定点\S(s,0)(0<s<a)を考える.次の問に答えなさい.\img{562_2720_2012_1}{25}(1)辺AC,CB,BO上に各々点T,U,Vを適切にとれば,四角形\STUVは長方形となる.このとき,AT=tとして,tが満たすべ\き条件をa,b,s,tを用いて表しなさい.また,定点Sに対して,\長方形OACBに内接するこのような長方形STUVは2つ存在することを示しなさい.(2)(1)で考えた2つの内接する長方形の面積の和は長方形OACBの面積に等しいことを証明しなさい.](./thumb/562/2720/2012_5.png)
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$xy$平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(a,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b)$,および,$\mathrm{C}(a,\ b)$ \\
$(0<a<b)$を頂点とする長方形$\mathrm{OACB}$と,辺$\mathrm{OA}$上の定点 \\
$\mathrm{S}(s,\ 0) \ \ (0<s<a)$を考える.次の問に答えなさい.
\img{562_2720_2012_1}{25}
(1) 辺$\mathrm{AC}$,$\mathrm{CB}$,$\mathrm{BO}$上に各々点$\mathrm{T}$,$\mathrm{U}$,$\mathrm{V}$を適切にとれば,四角形 \\ $\mathrm{STUV}$は長方形となる.このとき,$\mathrm{AT}=t$として,$t$が満たすべ \\ き条件を$a,\ b,\ s,\ t$を用いて表しなさい.また,定点$\mathrm{S}$に対して, \\ 長方形$\mathrm{OACB}$に内接するこのような長方形$\mathrm{STUV}$は$2$つ存在することを示しなさい.
(2) (1)で考えた$2$つの内接する長方形の面積の和は長方形$\mathrm{OACB}$の面積に等しいことを証明しなさい.
(1) 辺$\mathrm{AC}$,$\mathrm{CB}$,$\mathrm{BO}$上に各々点$\mathrm{T}$,$\mathrm{U}$,$\mathrm{V}$を適切にとれば,四角形 \\ $\mathrm{STUV}$は長方形となる.このとき,$\mathrm{AT}=t$として,$t$が満たすべ \\ き条件を$a,\ b,\ s,\ t$を用いて表しなさい.また,定点$\mathrm{S}$に対して, \\ 長方形$\mathrm{OACB}$に内接するこのような長方形$\mathrm{STUV}$は$2$つ存在することを示しなさい.
(2) (1)で考えた$2$つの内接する長方形の面積の和は長方形$\mathrm{OACB}$の面積に等しいことを証明しなさい.
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