次の問いに答えよ．
(1) ${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき，$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと，$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+\fbox{ア}b+\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}$である．
(2) 次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$\fbox{エ}\fbox{オ}$である． \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-12x+10<0 \\ x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} \end{array} \right. \]
(3) 区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$\fbox{カ}\fbox{キ}\fbox{ク}$通りである．ただし，$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする．
(4) $\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \alpha=\fbox{ケ}+\sqrt{\fbox{コ}}$，$\tan \beta=\fbox{サ}\fbox{シ}+\sqrt{\fbox{ス}}$である．
(5) 点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$，$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して，直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は \[ y=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}x+\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}},\quad z=0 \] である． $\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}} \{(\fbox{ト}n-1)3^n+1 \}$である．