上智大学
2015年 TEAP利用理系 第2問
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座標平面上で$2$つのベクトル
\[ \overrightarrow{p}=(p,\ 0),\quad \overrightarrow{q}=(q,\ 0) \]
を考える.ただし,$0<p<1$,$q>1$とする.$\overrightarrow{x}$を単位ベクトルとして,以下の問に答えよ.
(1) 任意の$\overrightarrow{x}$について,$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}$は直交しないことを示せ.
(2) $\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき,$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|$を$q$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が次の条件をみたすとする.
条件:任意の$\overrightarrow{x}$について$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|:|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|=1:2$となる.
(ⅰ) $p$および$q$の値を求めよ.
(ⅱ) $\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき,原点を始点として$\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{q}$を図示せよ.
(ⅲ) 実数$a$に対して, \[ \overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|^3}-a \frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|^3} \] とおく.任意の$\overrightarrow{x}$について,$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{s}$が平行となるときの$a$の値を求めよ.
(1) 任意の$\overrightarrow{x}$について,$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}$は直交しないことを示せ.
(2) $\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき,$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|$を$q$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が次の条件をみたすとする.
条件:任意の$\overrightarrow{x}$について$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|:|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|=1:2$となる.
(ⅰ) $p$および$q$の値を求めよ.
(ⅱ) $\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき,原点を始点として$\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{q}$を図示せよ.
(ⅲ) 実数$a$に対して, \[ \overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|^3}-a \frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|^3} \] とおく.任意の$\overrightarrow{x}$について,$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{s}$が平行となるときの$a$の値を求めよ.
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