愛媛大学
2015年 医学部 第1問
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![tを実数とする.座標空間内に4点O(0,0,0),A(3,0,0),C(-1,6,-2),D(t,-2,4)がある.図のような平行六面体OABC-DEFGにおいて,点Pが平行四辺形DEFGの周および内部を動くとき,△OCPの面積Sの最小値をmとする.また,平行四辺形DEFGを含む平面をαとし,点Oから平面αに下ろした垂線と平面αとの交点をQとする.(プレビューでは図は省略します)(1)平行四辺形OABCを含む平面に垂直な単位ベクトルベクトルuで,そのz成分が正となるものを求めよ.(2)線分OQの長さを求めよ.(3)点Qが平行四辺形DEFGの周または内部にあるとき,tのとり得る値の範囲を求めよ.(4)tが(3)で求めた範囲にあるとき,mの値およびS=mとなる点Pの座標をすべて求めよ.](./thumb/669/2872/2015_1.png)
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$t$を実数とする.座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$,$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある.図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において,点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき,$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする.また,平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする.
\imgc{669_2883_2015_1}
(1) 平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で,その$z$成分が正となるものを求めよ.
(2) 線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ.
(3) 点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき,$t$のとり得る値の範囲を求めよ.
(4) $t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき,$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.
(1) 平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で,その$z$成分が正となるものを求めよ.
(2) 線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ.
(3) 点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき,$t$のとり得る値の範囲を求めよ.
(4) $t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき,$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.
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