浜松医科大学
2013年 医学部 第1問
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関数$\displaystyle f(x)=\log x+\frac{1}{x}$と曲線$C:y=f(x) \ (x>0)$について,以下の問いに答えよ.なお,必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}=0$を用いてもよい.
(1) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$をそれぞれ求めよ.
(2) 曲線$C$の変曲点を求めよ.
以下$a$は$1$より大きい実数とし,点$(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell(a)$とする.
(3) 接線$\ell(a)$の方程式を求めよ.また,$a \neq 2$のとき,曲線$C$と接線$\ell(a)$は$2$個の共有点(接点と交点)をもつことを示せ.
(4) $a=2$とする.曲線$C$,接線$\ell(2)$と$2$直線$x=1,\ x=4$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(1) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$をそれぞれ求めよ.
(2) 曲線$C$の変曲点を求めよ.
以下$a$は$1$より大きい実数とし,点$(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell(a)$とする.
(3) 接線$\ell(a)$の方程式を求めよ.また,$a \neq 2$のとき,曲線$C$と接線$\ell(a)$は$2$個の共有点(接点と交点)をもつことを示せ.
(4) $a=2$とする.曲線$C$,接線$\ell(2)$と$2$直線$x=1,\ x=4$で囲まれた図形の面積を求めよ.
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