表が出る確率が$a \ (0<a<\displaystyle\frac{1}{2})$，裏が出る確率が$1-a$のコインを1枚投げる試行を$n$回行う．ただし$n \geqq 2$とする．この$n$回の試行の結果，表が$2$回以上出る事象を$A_n$で表す．また$1$回目から$n$回目の試行が終わるまでに，[裏→表]の順で出ない事象を$B_n$で表す．つぎの問に答えよ．
(1) 確率$P(A_n),\ P(B_n)$を求めよ．
(2) 確率$P(A_n \cap B_n)$を求めよ．
(3) 極限 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{P(A_n)P(B_n)}{P(A_n \cap B_n)} \] を求めよ．ただし，$0<r<1$をみたす$r$に対して，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} nr^n = 0$となることを証明なしに用いてよい．