早稲田大学
2013年 人間科学学部(文系) 第3問
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![1辺の長さが1の正方形ABCDにおいて,図のようにAW=BX=CY=DZとなる点W,X,Y,Zをとる.四角形WXYZに内接する円をC_0とし,△AWZ,△BXW,△CYX,△DZYに内接する円をそれぞれC_1,C_2,C_3,C_4とする.AW=x,ZW=aとおくときa^2=[セ]x^2+[ソ]x+1(0<x<1)となる.円C_0,C_1,C_2,C_3,C_4の面積の総和をSとするとS=π/4([タ]a^2+[チ]a+[ツ])となり,a=\frac{[ト]}{[テ]}のとき,Sは最小値\frac{π}{[ナ]}をとる.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/304/11/2013_3.png)
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$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において,図のように$\mathrm{AW}=\mathrm{BX}=\mathrm{CY}=\mathrm{DZ}$となる点$\mathrm{W}$,$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$,$\mathrm{Z}$をとる.四角形$\mathrm{WXYZ}$に内接する円を$C_0$とし,$\triangle \mathrm{AWZ}$,$\triangle \mathrm{BXW}$,$\triangle \mathrm{CYX}$,$\triangle \mathrm{DZY}$に内接する円をそれぞれ$C_1$,$C_2$,$C_3$,$C_4$とする.$\mathrm{AW}=x$,$\mathrm{ZW}=a$とおくとき
\[ a^2=\fbox{セ}x^2+\fbox{ソ}x+1 \quad (0<x<1) \]
となる.円$C_0$,$C_1$,$C_2$,$C_3$,$C_4$の面積の総和を$S$とすると
\[ S=\frac{\pi}{4} \left( \fbox{タ}a^2+\fbox{チ}a+\fbox{ツ} \right) \]
となり,$\displaystyle a=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{テ}}$のとき,$S$は最小値$\displaystyle \frac{\pi}{\fbox{ナ}}$をとる.
\imgc{304_11_2013_1}
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