早稲田大学
2016年 スポーツ科学学部 第3問
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$2$つの箱$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$があり,いずれの箱にも赤球が$1$個,白球が$3$個入っている.ここで,「それぞれの箱から$1$個の球を無作為に取り出しそれらを交換する」という試行を$n$回繰り返す.その結果,$2$つの箱$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$がともに元の状態に戻っている確率を$p_n$とする.このとき,正の整数$k$に対して,
\[ p_{k+1}=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}p_k+\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}(1-p_k) \]
となる.よって,
\[ p_n=\frac{\fbox{コ}}{7} \left( \frac{1}{\fbox{サ}} \right)^n+\frac{\fbox{シ}}{7} \quad (n \geqq 1) \]
となる.
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