東京農工大学
2015年 理系 第2問
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次の問いに答えよ.
(1) $r$を$|r|<1$である実数とする.自然数$n$に対して \[ S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1} \] とおく. \[ S=\lim_{n \to \infty} S_n \] を$r$の式で表せ.ただし$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nr^n=0$であることを用いてよい.
(2) $n$を自然数とする.$2$人の弓道部員$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が矢を的に命中させる確率は,$\mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{4}{5}$,$\mathrm{B}$が$\displaystyle \frac{1}{2}$である.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が的に向かってそれぞれ$n$回ずつ矢を射る.
(ⅰ) $n=1$のとき,$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_1$とし,$\mathrm{A}$の射る矢が命中せずに$\mathrm{B}$の射る矢が命中する確率を$q_1$とする.$p_1+q_1$を求めよ.
(ⅱ) $n \geqq 2$のとき,$1$回目から$(n-1)$回目まで$\mathrm{A}$の射る矢も$\mathrm{B}$の射る矢も命中せず,$n$回目に$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_n$とする.$p_n$を求めよ.
(ⅲ) $n \geqq 2$のとき,$\mathrm{A}$の射る矢は$1$回目から$n$回目まで命中せず,$\mathrm{B}$の射る矢は$1$回目から$(n-1)$回目まで命中せずに$n$回目のみ命中する確率を$q_n$とする.$q_n$を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$p_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して \[ E=\sum_{n=1}^\infty (2n-1)p_n \] とおく.$E$の値を求めよ.
(1) $r$を$|r|<1$である実数とする.自然数$n$に対して \[ S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1} \] とおく. \[ S=\lim_{n \to \infty} S_n \] を$r$の式で表せ.ただし$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nr^n=0$であることを用いてよい.
(2) $n$を自然数とする.$2$人の弓道部員$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が矢を的に命中させる確率は,$\mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{4}{5}$,$\mathrm{B}$が$\displaystyle \frac{1}{2}$である.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が的に向かってそれぞれ$n$回ずつ矢を射る.
(ⅰ) $n=1$のとき,$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_1$とし,$\mathrm{A}$の射る矢が命中せずに$\mathrm{B}$の射る矢が命中する確率を$q_1$とする.$p_1+q_1$を求めよ.
(ⅱ) $n \geqq 2$のとき,$1$回目から$(n-1)$回目まで$\mathrm{A}$の射る矢も$\mathrm{B}$の射る矢も命中せず,$n$回目に$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_n$とする.$p_n$を求めよ.
(ⅲ) $n \geqq 2$のとき,$\mathrm{A}$の射る矢は$1$回目から$n$回目まで命中せず,$\mathrm{B}$の射る矢は$1$回目から$(n-1)$回目まで命中せずに$n$回目のみ命中する確率を$q_n$とする.$q_n$を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$p_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して \[ E=\sum_{n=1}^\infty (2n-1)p_n \] とおく.$E$の値を求めよ.
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