筑波大学
2012年 理系 第4問
4
4
四面体$\mathrm{OABC}$において,次が満たされているとする.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} \]
点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする.点$\mathrm{O}$を通り平面$\alpha$と直交する直線と,平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ.
(2) 点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心であること,すなわち$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}},\ \overrightarrow{\mathrm{BH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CA}},\ \overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を示せ.
(3) $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=1$とする.このとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さおよび線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ.
(2) 点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心であること,すなわち$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}},\ \overrightarrow{\mathrm{BH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CA}},\ \overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を示せ.
(3) $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=1$とする.このとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さおよび線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ.
類題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。