佐賀大学
2015年 医学部 第4問
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$p$を素数とするとき,次の問に答えよ.
(1) $2$つの自然数$m,\ n$の最大公約数は$1$であるとし,$\displaystyle x=\frac{n}{m}$とおく.$p^x$が有理数であるならば,$m=1$であることを示せ.
(2) 方程式 \[ p^x=-x^2+9x-5 \] が有理数の解$x$をもつような組$(p,\ x)$をすべて求めよ.
(1) $2$つの自然数$m,\ n$の最大公約数は$1$であるとし,$\displaystyle x=\frac{n}{m}$とおく.$p^x$が有理数であるならば,$m=1$であることを示せ.
(2) 方程式 \[ p^x=-x^2+9x-5 \] が有理数の解$x$をもつような組$(p,\ x)$をすべて求めよ.
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