名古屋大学
2015年 理系 第3問
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$e$を自然対数の底とし,$t$を$t>e$となる実数とする.このとき,曲線$C:y=e^x$と直線$y=tx$は相異なる$2$点で交わるので,交点のうち$x$座標が小さいものを$\mathrm{P}$,大きいものを$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$とする.また,$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{R}$とし,曲線$C$,$x$軸および$2$つの直線$x=\alpha$,$x=\beta$で囲まれる部分の面積を$S_1$,曲線$C$および$2$つの直線$\mathrm{PR}$,$\mathrm{QR}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \alpha<\frac{e}{t},\ \beta<2 \log t$となることを示し,$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.必要ならば,$x>0$のとき$e^x>x^2$であることを証明なしに用いてよい.
(1) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \alpha<\frac{e}{t},\ \beta<2 \log t$となることを示し,$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.必要ならば,$x>0$のとき$e^x>x^2$であることを証明なしに用いてよい.
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