浜松医科大学
2011年 医学部 第1問
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$2$次曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて,
\[ x=3+5 \cos \theta,\quad y=2+3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \]
と表されている.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 曲線$C$の方程式を$x,\ y$を用いて表せ.また,$C$を座標平面上に図示せよ.
(2) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(3+5 \cos \theta,\ 2+3 \sin \theta)$における$C$の接線$\ell$の方程式は, \[ \frac{\cos \theta}{5}(x-3)+\frac{\sin \theta}{3}(y-2)=1 \] となることを示せ.
(3) 曲線$C$の焦点を$\mathrm{F}_1$,$\mathrm{F}_2$とする.$i=1,\ 2$に対し,$\mathrm{F}_i$を通り,接線$\ell$に垂直な直線$m_i$の方程式を求めよ.
(4) $i=1,\ 2$に対し,直線$m_i$と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}_i$とする.点$\mathrm{O}^\prime(3,\ 2)$とするとき,線分$\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}_i$の長さを求めよ.
(5) $\mathrm{P}$が曲線$C$を一周するとき,線分$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の長さの最大値,最小値,およびそのときの点$\mathrm{P}$をそれぞれ求めよ.
(1) 曲線$C$の方程式を$x,\ y$を用いて表せ.また,$C$を座標平面上に図示せよ.
(2) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(3+5 \cos \theta,\ 2+3 \sin \theta)$における$C$の接線$\ell$の方程式は, \[ \frac{\cos \theta}{5}(x-3)+\frac{\sin \theta}{3}(y-2)=1 \] となることを示せ.
(3) 曲線$C$の焦点を$\mathrm{F}_1$,$\mathrm{F}_2$とする.$i=1,\ 2$に対し,$\mathrm{F}_i$を通り,接線$\ell$に垂直な直線$m_i$の方程式を求めよ.
(4) $i=1,\ 2$に対し,直線$m_i$と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}_i$とする.点$\mathrm{O}^\prime(3,\ 2)$とするとき,線分$\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}_i$の長さを求めよ.
(5) $\mathrm{P}$が曲線$C$を一周するとき,線分$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の長さの最大値,最小値,およびそのときの点$\mathrm{P}$をそれぞれ求めよ.
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