聖マリアンナ医科大学
2015年 医学部 第3問
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![三角形ABCはAB=AC,∠BAC=2θ(0<θ<π/2)を満たすものとする.三角形ABCの内接円をO_1とし,その半径をaとする.また,円O_n(n=1,2,3,・・・)より半径が短く,辺AB,辺AC,円O_nに接する円をO_{n+1}とする.このとき,以下の問いに答えなさい.ただし,円周率はπを用いるものとする.\begin{mawarikomi}{55mm}{(プレビューでは図は省略します)}(1)三角形ABCの周の長さLをaとθを用いて表しなさい.ただし,L=AB+BC+CAである.(2)円O_nの周の長さをW_nで表すとき,W=Σ_{n=1}^∞W_nをaとθを用いて表しなさい.(3)L=Wが成り立つとき,sinθ,cosθの値をそれぞれ求めなさい.\end{mawarikomi}](./thumb/320/896/2015_3.png)
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三角形$\mathrm{ABC}$は$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=2\theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たすものとする.
三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$\mathrm{O}_1$とし,その半径を$a$とする.また,円$\mathrm{O}_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$より半径が短く,辺$\mathrm{AB}$,辺$\mathrm{AC}$,円$\mathrm{O}_n$に接する円を$\mathrm{O}_{n+1}$とする.このとき,以下の問いに答えなさい.ただし,円周率は$\pi$を用いるものとする.
\begin{mawarikomi}{55mm}{ \imgc{320_896_2015_1} }
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$a$と$\theta$を用いて表しなさい.ただし,$L=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$である.
(2) 円$\mathrm{O}_n$の周の長さを$W_n$で表すとき, \[ W=\sum_{n=1}^\infty W_n \] を$a$と$\theta$を用いて表しなさい.
(3) $L=W$が成り立つとき,$\sin \theta$,$\cos \theta$の値をそれぞれ求めなさい.
\end{mawarikomi}
三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$\mathrm{O}_1$とし,その半径を$a$とする.また,円$\mathrm{O}_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$より半径が短く,辺$\mathrm{AB}$,辺$\mathrm{AC}$,円$\mathrm{O}_n$に接する円を$\mathrm{O}_{n+1}$とする.このとき,以下の問いに答えなさい.ただし,円周率は$\pi$を用いるものとする.
\begin{mawarikomi}{55mm}{ \imgc{320_896_2015_1} }
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$a$と$\theta$を用いて表しなさい.ただし,$L=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$である.
(2) 円$\mathrm{O}_n$の周の長さを$W_n$で表すとき, \[ W=\sum_{n=1}^\infty W_n \] を$a$と$\theta$を用いて表しなさい.
(3) $L=W$が成り立つとき,$\sin \theta$,$\cos \theta$の値をそれぞれ求めなさい.
\end{mawarikomi}
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