初項が$5$で，初項から第$5$項までの和が$45$となる等差数列を$\{a_n\}$とする．以下の問いに答えよ．
(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(3) $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n$の中から異なる$2$つの項を取り出して作った積すべての和$T_n$を求めよ．
(4) $a_2 \leqq b_2 \leqq a_3$，$a_6 \leqq b_4 \leqq a_7$，$a_7 \leqq b_5 \leqq a_8$を満たすすべての等差数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．ただし，数列$\{b_n\}$の初項と公差は自然数とする．
(5) 数列$\{a_n\}$と$(4)$で求めたすべての数列$\{b_n\}$に共通に現れる数を小さい方から順に並べてできる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．