正四面体は，$4$つの面が全て合同な正三角形からなる四面体である．下図のような$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{OA}$，$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする． \[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\quad \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{DE}} \] とおく．次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2) $t$を実数とし，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=t \overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=(2-t) \overrightarrow{d}$を満たす点とする．$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$を$t$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FG}}$を求めよ．
(3) $\mathrm{E}$は線分$\mathrm{FG}$の中点であることを示せ．
(4) 四角形$\mathrm{BFCG}$の面積の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．