徳島大学
2014年 医(医)・歯・薬 第3問
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$n$枚のカードに$1$から$n$までの自然数がひとつずつ書かれている.異なるカードには異なる数が書かれている.これら$n$枚のカードを横一列に並べて,左端から$i$番目($1 \leqq i \leqq n$)のカードに書かれた数を$a_i$とする.
(1) $n=5$のとき,$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$を満たすカードの並べ方の総数を求めよ.
(2) $n \geqq 3$とする.次の条件$\tokeiichi$,$\tokeini$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ.ただし,$\tokeini$では,$k=2$のとき$a_1<a_2<\cdots<a_k$は$a_1<a_2$を表し,$k=n-1$のとき$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$は$a_{n-1}>a_n$を表す.
(ⅰ) $1<k<n$
(ⅱ) $a_1<a_2<\cdots<a_k$かつ$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$
(3) $n \geqq 4$とする.次の条件$\tokeiichi$,$\tokeini$,$\tokeisan$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ.ただし,$\tokeisan$のそれぞれの不等式は$(2)$と同様に,$p=2$のとき$a_1>a_2$を表し,$q=p+1$のとき$a_p<a_{p+1}$を表し,$q=n-1$のとき$a_{n-1}>a_n$を表す.
(ⅰ) $1<p<q<n$
(ⅱ) $a_1=n$かつ$a_p=1$
(ⅲ) $a_1>a_2>\cdots>a_p$かつ$a_p<a_{p+1}<\cdots<a_q$かつ$a_q>a_{q+1}>\cdots>a_n$
(1) $n=5$のとき,$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$を満たすカードの並べ方の総数を求めよ.
(2) $n \geqq 3$とする.次の条件$\tokeiichi$,$\tokeini$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ.ただし,$\tokeini$では,$k=2$のとき$a_1<a_2<\cdots<a_k$は$a_1<a_2$を表し,$k=n-1$のとき$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$は$a_{n-1}>a_n$を表す.
(ⅰ) $1<k<n$
(ⅱ) $a_1<a_2<\cdots<a_k$かつ$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$
(3) $n \geqq 4$とする.次の条件$\tokeiichi$,$\tokeini$,$\tokeisan$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ.ただし,$\tokeisan$のそれぞれの不等式は$(2)$と同様に,$p=2$のとき$a_1>a_2$を表し,$q=p+1$のとき$a_p<a_{p+1}$を表し,$q=n-1$のとき$a_{n-1}>a_n$を表す.
(ⅰ) $1<p<q<n$
(ⅱ) $a_1=n$かつ$a_p=1$
(ⅲ) $a_1>a_2>\cdots>a_p$かつ$a_p<a_{p+1}<\cdots<a_q$かつ$a_q>a_{q+1}>\cdots>a_n$
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