宮崎大学
2010年 医学部 第4問
4
![定積分I_n=∫_1^{√e}(logx)^ndx(n=1,2,3,・・・)について,次の各問に答えよ.(1)I_1の値を求めよ.(2)等式I_{n+1}=√e(1/2)^{n+1}-(n+1)I_n(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ.(3)すべての自然数nについて,等式I_n=(-1)^{n-1}n!+√eΣ_{m=0}^n(-1)^{n-m}n!/m!(1/2)^mが成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,0!=1とする.](./thumb/735/3043/2010_4.png)
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定積分
\[ I_n=\int_1^{\sqrt{e}} (\log x)^n \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
について,次の各問に答えよ.
(1) $I_1$の値を求めよ.
(2) 等式 \[ I_{n+1}=\sqrt{e} \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}-(n+1)I_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ.
(3) すべての自然数$n$について,等式 \[ I_n=(-1)^{n-1}n!+\sqrt{e}\sum_{m=0}^n (-1)^{n-m}\frac{n!}{m!}\left( \frac{1}{2} \right)^m \] が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,$0!=1$とする.
(1) $I_1$の値を求めよ.
(2) 等式 \[ I_{n+1}=\sqrt{e} \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}-(n+1)I_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ.
(3) すべての自然数$n$について,等式 \[ I_n=(-1)^{n-1}n!+\sqrt{e}\sum_{m=0}^n (-1)^{n-m}\frac{n!}{m!}\left( \frac{1}{2} \right)^m \] が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,$0!=1$とする.
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