大阪府立大学
2013年 文系 第5問
5
![a,bは実数の定数で|a|<|b|をみたすとする.行列AをA=1/3(\begin{array}{cc}a+2b&-2a+2b\-a+b&2a+b\end{array})によって定めるとき,以下の問いに答えよ.(1)x_0(\begin{array}{c}2\1\end{array})+y_0(\begin{array}{c}-1\1\end{array})=(\begin{array}{c}2\13\end{array})をみたすx_0,y_0を求めよ.(2)A(\begin{array}{c}2\1\end{array}),A(\begin{array}{c}-1\1\end{array})を求めよ.(3)nを自然数とする.x_n(\begin{array}{c}2\1\end{array})+y_n(\begin{array}{c}-1\1\end{array})=A^n(\begin{array}{c}2\13\end{array})をみたすx_n,y_nをa,b,nを用いて表せ.(4)数列{p_n},{q_n}を(\begin{array}{c}p_n\q_n\end{array})=A^n(\begin{array}{c}2\13\end{array})によって定めるとき,\lim_{n→∞}\frac{q_n}{p_n}を求めよ.](./thumb/507/2698/2013_5.png)
5
$a,\ b$は実数の定数で$|a|<|b|$をみたすとする.行列$A$を
\[ A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
a+2b & -2a+2b \\
-a+b & 2a+b
\end{array} \right) \]
によって定めるとき,以下の問いに答えよ.
(1) $x_0 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)+y_0 \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 13 \end{array} \right)$をみたす$x_0,\ y_0$を求めよ.
(2) $A \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)$を求めよ.
(3) $n$を自然数とする.$x_n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)+y_n \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 13 \end{array} \right)$をみたす$x_n,\ y_n$を$a,\ b,\ n$を用いて表せ.
(4) 数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$を$\left( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 13 \end{array} \right)$によって定めるとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ.
(1) $x_0 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)+y_0 \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 13 \end{array} \right)$をみたす$x_0,\ y_0$を求めよ.
(2) $A \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)$を求めよ.
(3) $n$を自然数とする.$x_n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)+y_n \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 13 \end{array} \right)$をみたす$x_n,\ y_n$を$a,\ b,\ n$を用いて表せ.
(4) 数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$を$\left( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 13 \end{array} \right)$によって定めるとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ.
類題(関連度順)
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