金沢工業大学
2014年 理系1 第6問
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ -1)$をとる.点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円$C$を考える.$C$上の点で,第$1$象限にある点を$\mathrm{P}$とし,$\angle \mathrm{POA}=\theta$とする.
(1) $\displaystyle \angle \mathrm{OPA}=\frac{\pi}{\fbox{ケ}}$であり,$\displaystyle \triangle \mathrm{POA}=\frac{1}{\fbox{コ}} \sin \theta \cos \theta$である.
(2) 四辺形$\mathrm{OBAP}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{\fbox{サ}}+\frac{1}{\fbox{シ}} \sin 2\theta$である.
(3) $\displaystyle \triangle \mathrm{POB}=\frac{1}{\fbox{ス}}+\frac{1}{\fbox{セ}} \cos 2\theta$である.
(4) $\triangle \mathrm{PBA}$の面積を$S$とすると,$\displaystyle S=\frac{1}{\fbox{ソ}}+\frac{\sqrt{\fbox{タ}}}{\fbox{チ}} \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{\fbox{ツ}} \right)$であり,$S$は$\displaystyle \theta=\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}} \pi$で最大値$\displaystyle \frac{1+\sqrt{\fbox{ナ}}}{\fbox{ニ}}$をとる.
(1) $\displaystyle \angle \mathrm{OPA}=\frac{\pi}{\fbox{ケ}}$であり,$\displaystyle \triangle \mathrm{POA}=\frac{1}{\fbox{コ}} \sin \theta \cos \theta$である.
(2) 四辺形$\mathrm{OBAP}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{\fbox{サ}}+\frac{1}{\fbox{シ}} \sin 2\theta$である.
(3) $\displaystyle \triangle \mathrm{POB}=\frac{1}{\fbox{ス}}+\frac{1}{\fbox{セ}} \cos 2\theta$である.
(4) $\triangle \mathrm{PBA}$の面積を$S$とすると,$\displaystyle S=\frac{1}{\fbox{ソ}}+\frac{\sqrt{\fbox{タ}}}{\fbox{チ}} \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{\fbox{ツ}} \right)$であり,$S$は$\displaystyle \theta=\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}} \pi$で最大値$\displaystyle \frac{1+\sqrt{\fbox{ナ}}}{\fbox{ニ}}$をとる.
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