宮崎大学
2016年 医学部 第3問
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![複素数zの方程式z^3+i=z^2+iz(iは虚数単位)の3つの解を,その偏角θ(ただし,0≦θ<2π)の小さい順にα,β,γとする.複素数平面上で,α,β,γを表す点をそれぞれA,B,Cとし,直線ACに関してBと対称な点をD,直線ABに関してCと対称な点をEとする.このとき,次の各問に答えよ.(1)α,β,γをx+yi(x,yは実数)の形でそれぞれ表せ.(2)△ABCの面積を求めよ.(3)複素数平面上で,3点A,D,Eを通る円周上のどの複素数zも,z\overline{z}+sz+t\overline{z}+u=0を満たすような複素数の定数s,t,uを求めよ.](./thumb/735/3043/2016_3.png)
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複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$($i$は虚数単位)の$3$つの解を,その偏角$\theta$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする.複素数平面上で,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) $\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3) 複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
(1) $\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3) 複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
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