公立はこだて未来大学
2016年 理系 第5問
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![nを自然数とする.以下の問いに答えよ.(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ.2cosαsinβ=sin(α+β)-sin(α-β)(2)数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ.2sinθ/2Σ_{l=1}^ncoslθ=sin(n+1/2)θ-sinθ/2(3)mを整数とする.θ≠2mπのとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.ただし,等号が成立する条件は調べなくてよい.|Σ_{l=1|^ncoslθ}≦1/2(1+{|sinθ/2|}^{-1})](./thumb/9/0/2016_5.png)
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$n$を自然数とする.以下の問いに答えよ.
(1) 三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ. \[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2) 数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ. \[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3) $m$を整数とする.$\theta \neq 2m\pi$のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.ただし,等号が成立する条件は調べなくてよい. \[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]
(1) 三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ. \[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2) 数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ. \[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3) $m$を整数とする.$\theta \neq 2m\pi$のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.ただし,等号が成立する条件は調べなくてよい. \[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]
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