福岡教育大学
2012年 初等教育 第3問
3
![a,bを実数とし,S=(\begin{array}{cc}a&0\0&b\end{array}),O=(\begin{array}{cc}0&0\0&0\end{array})とする.2次正方行列NがN^2=O,SN=NSをみたすとき,次の問いに答えよ.(1)a=bまたはN=Oであることを示せ.(2)nは2以上の自然数とする.このとき,(S+N)^n=S^n+nS^{n-1}Nが成り立つことを示せ.(3)nは2以上の自然数とする.このとき,(S+SN+N)^n=S^n+nS^nN+nS^{n-1}Nが成り立つことを示せ.(4)N=(\begin{array}{cc}0&1\0&0\end{array})のとき,2以上の自然数nに対して,(S+SN+N)^nを求めよ.](./thumb/679/3139/2012_3.png)
3
$a,\ b$を実数とし,
\[ S=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
とする.$2$次正方行列$N$が$N^2=O,\ SN=NS$をみたすとき,次の問いに答えよ.
(1) $a=b$または$N=O$であることを示せ.
(2) $n$は$2$以上の自然数とする.このとき, \[ (S+N)^n=S^n+nS^{n-1}N \] が成り立つことを示せ.
(3) $n$は$2$以上の自然数とする.このとき, \[ (S+SN+N)^n=S^n+nS^nN+nS^{n-1}N \] が成り立つことを示せ.
(4) $N=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$のとき,$2$以上の自然数$n$に対して,$(S+SN+N)^n$を求めよ.
(1) $a=b$または$N=O$であることを示せ.
(2) $n$は$2$以上の自然数とする.このとき, \[ (S+N)^n=S^n+nS^{n-1}N \] が成り立つことを示せ.
(3) $n$は$2$以上の自然数とする.このとき, \[ (S+SN+N)^n=S^n+nS^nN+nS^{n-1}N \] が成り立つことを示せ.
(4) $N=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$のとき,$2$以上の自然数$n$に対して,$(S+SN+N)^n$を求めよ.
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