東京大学
2016年 理系 第2問
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![A,B,Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,2連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.(i)1試合目でAとBが対戦する.(ii)2試合目で,1試合目の勝者と,1試合目で待機していたCが対戦する.(iii)k試合目で優勝チームが決まらない場合は,k試合目の勝者と,k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する.ここでkは2以上の整数とする.なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は1/2で,引き分けはないものとする.(1)nを2以上の整数とする.ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ.(2)mを正の整数とする.総試合数が3m回以下でAが優勝したとき,Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ.](./thumb/179/910/2016_2.png)
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$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,$2$連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.
(ⅰ) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.
(ⅱ) $2$試合目で,$1$試合目の勝者と,$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する.
(ⅲ) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は,$k$試合目の勝者と,$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する.ここで$k$は$2$以上の整数とする.
なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で,引き分けはないものとする.
(1) $n$を$2$以上の整数とする.ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(2) $m$を正の整数とする.総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき,$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ.
(ⅰ) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.
(ⅱ) $2$試合目で,$1$試合目の勝者と,$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する.
(ⅲ) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は,$k$試合目の勝者と,$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する.ここで$k$は$2$以上の整数とする.
なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で,引き分けはないものとする.
(1) $n$を$2$以上の整数とする.ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(2) $m$を正の整数とする.総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき,$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ.
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