名古屋市立大学
2013年 薬学部 第2問
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逆行列をもつ行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される$1$次変換を考える.以下の問いに答えよ.
(1) この変換によって$xy$平面上の任意の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$および$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$がそれぞれ$\mathrm{P}^\prime ({x_1}^\prime,\ {y_1}^\prime)$および$\mathrm{Q}^\prime ({x_2}^\prime,\ {y_2}^\prime)$に移されるとき,$2$点間の距離が変換によって変化しない,つまり,$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}|^2$であるための必要十分条件は, \[ A^\mathrm{T}A=E \qquad \cdots\cdots (\ast) \] であることを示せ.ただし,$A^\mathrm{T}$は$A$の行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列,すなわち, \[ A^\mathrm{T}=\left( \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array} \right) \] である.また,$E$は単位行列である.
(2) 原点のまわりの回転移動および$x$軸に関する対称移動の$1$次変換を,それぞれ,$f$および$g$とする.これらの$1$次変換を表す行列は,それぞれ,上の条件$(\ast)$を満たすことを確かめよ.
(3) $(2)$で考えた$1$次変換$f$および$g$を表す行列をそれぞれ$F$および$G$とし,$A=FGF^{-1}$で定義される行列$A$によって表される$1$次変換を考える.この変換によって直線$y=mx$上の任意の点がそれ自身に移されるとき,$A$を実数$m$を用いて表せ.ただし,$F^{-1}$は$F$の逆行列を表す.
(4) $(1)$で考えた点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}^\prime$の座標を用いて,$S=x_1y_2-y_1x_2$および$S^{\prime}={x_1}^\prime {y_2}^\prime-{y_1}^\prime {x_2}^\prime$を定義する.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$から$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}^\prime$への変換を表す行列が$(3)$で求めた$A$で与えられるとき,$S$と$S^\prime$の関係式を求めよ.
(1) この変換によって$xy$平面上の任意の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$および$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$がそれぞれ$\mathrm{P}^\prime ({x_1}^\prime,\ {y_1}^\prime)$および$\mathrm{Q}^\prime ({x_2}^\prime,\ {y_2}^\prime)$に移されるとき,$2$点間の距離が変換によって変化しない,つまり,$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}|^2$であるための必要十分条件は, \[ A^\mathrm{T}A=E \qquad \cdots\cdots (\ast) \] であることを示せ.ただし,$A^\mathrm{T}$は$A$の行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列,すなわち, \[ A^\mathrm{T}=\left( \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array} \right) \] である.また,$E$は単位行列である.
(2) 原点のまわりの回転移動および$x$軸に関する対称移動の$1$次変換を,それぞれ,$f$および$g$とする.これらの$1$次変換を表す行列は,それぞれ,上の条件$(\ast)$を満たすことを確かめよ.
(3) $(2)$で考えた$1$次変換$f$および$g$を表す行列をそれぞれ$F$および$G$とし,$A=FGF^{-1}$で定義される行列$A$によって表される$1$次変換を考える.この変換によって直線$y=mx$上の任意の点がそれ自身に移されるとき,$A$を実数$m$を用いて表せ.ただし,$F^{-1}$は$F$の逆行列を表す.
(4) $(1)$で考えた点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}^\prime$の座標を用いて,$S=x_1y_2-y_1x_2$および$S^{\prime}={x_1}^\prime {y_2}^\prime-{y_1}^\prime {x_2}^\prime$を定義する.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$から$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}^\prime$への変換を表す行列が$(3)$で求めた$A$で与えられるとき,$S$と$S^\prime$の関係式を求めよ.
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