獨協大学
2012年 文系 第1問
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次の設問の空欄を,あてはまる数値や記号,式などで埋めなさい.
(1) ${(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3$を展開すると$\fbox{$1$}$になる.
(2) $-1<a<0<b<c$とするとき, \[ -\frac{a}{c},\ \frac{a}{c},\ \frac{1}{ac},\ -\frac{1}{ab},\ -\frac{1}{ac} \] の$5$つの数のうち,小さい方から$2$番目の数は$\fbox{$2$}$であり$4$番目の数は$\fbox{$3$}$である.
(3) $\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta<\frac{3\pi}{2}$のときに \[ 2 \sin^3 \theta-\sin \theta=0 \] の解をすべて記すと$\fbox{$4$}$である.
(4) $a,\ b$を定数とする$x$に関する$3$次方程式 \[ 2x^3+ax^2+bx-10=0 \] の$2$つの解が$x=1,\ 2$であるとき,$a=\fbox{$5$}$,$b=\fbox{$6$}$であり,もう$1$つの解は$\fbox{$7$}$である.
(5) $\mathrm{P}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{I}$,$\mathrm{L}$の文字が$1$つずつ刻まれているタイルが$6$枚ある.これらを横$1$列に並べるとき,$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$より左で,かつ,$\mathrm{N}$が$\mathrm{E}$より右となる確率は$\fbox{$8$}$である. $a$を定数とする方程式$x^3-6x^2-a=0$の異なる実数解は,$a$の値が$\fbox{$9$}$の場合には$3$個,$\fbox{$10$}$または$\fbox{$11$}$の場合には$2$個,$\fbox{$12$}$または$\fbox{$13$}$の場合には$1$個,それぞれ存在する. $\alpha$を実数として,空間における原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(-1,\ \alpha,\ \alpha)$,$\mathrm{B}(1,\ 2,\ \alpha)$を考える.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を最小にする$\alpha$の値は$\fbox{$14$}$であり,このとき,三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\fbox{$15$}$である. 点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$における接線上に$\mathrm{AB}=2$となる点$\mathrm{B}$をとる.次に,点$\mathrm{B}$から$\mathrm{BC}=2$となるように円周上に点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる.このとき,三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$\fbox{$16$}$であり,$\sin \angle \mathrm{CAB}=\fbox{$17$}$である. \imgc{135_2241_2012_1}
(1) ${(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3$を展開すると$\fbox{$1$}$になる.
(2) $-1<a<0<b<c$とするとき, \[ -\frac{a}{c},\ \frac{a}{c},\ \frac{1}{ac},\ -\frac{1}{ab},\ -\frac{1}{ac} \] の$5$つの数のうち,小さい方から$2$番目の数は$\fbox{$2$}$であり$4$番目の数は$\fbox{$3$}$である.
(3) $\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta<\frac{3\pi}{2}$のときに \[ 2 \sin^3 \theta-\sin \theta=0 \] の解をすべて記すと$\fbox{$4$}$である.
(4) $a,\ b$を定数とする$x$に関する$3$次方程式 \[ 2x^3+ax^2+bx-10=0 \] の$2$つの解が$x=1,\ 2$であるとき,$a=\fbox{$5$}$,$b=\fbox{$6$}$であり,もう$1$つの解は$\fbox{$7$}$である.
(5) $\mathrm{P}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{I}$,$\mathrm{L}$の文字が$1$つずつ刻まれているタイルが$6$枚ある.これらを横$1$列に並べるとき,$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$より左で,かつ,$\mathrm{N}$が$\mathrm{E}$より右となる確率は$\fbox{$8$}$である. $a$を定数とする方程式$x^3-6x^2-a=0$の異なる実数解は,$a$の値が$\fbox{$9$}$の場合には$3$個,$\fbox{$10$}$または$\fbox{$11$}$の場合には$2$個,$\fbox{$12$}$または$\fbox{$13$}$の場合には$1$個,それぞれ存在する. $\alpha$を実数として,空間における原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(-1,\ \alpha,\ \alpha)$,$\mathrm{B}(1,\ 2,\ \alpha)$を考える.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を最小にする$\alpha$の値は$\fbox{$14$}$であり,このとき,三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\fbox{$15$}$である. 点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$における接線上に$\mathrm{AB}=2$となる点$\mathrm{B}$をとる.次に,点$\mathrm{B}$から$\mathrm{BC}=2$となるように円周上に点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる.このとき,三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$\fbox{$16$}$であり,$\sin \angle \mathrm{CAB}=\fbox{$17$}$である. \imgc{135_2241_2012_1}
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